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日期: 2021-01-26 | 来源: HK01 | 有0人参与评论 | 字体: 小 中 大
不过，作者在论文第1页做了免责声明，表示：”这篇论文不符合德州大学奥斯汀分校当前的写作格式指南，论文仅供参考使用。”下面让我们简单了解下这篇巨长的博士论文到底讲了些什么。
矩阵（matrix）在很多理论计算器科学和机器学习问题中发挥至关重要的作用。在这篇博士论文中，作者旨在提供对矩阵的更好理解，并且文中的很多见解对古老的、已经得到充分研究的算法问题带来了改进。具体来讲，作者从三个层面对计算器科学和机器学习领域的矩阵展开了研究。
首先，他探究了矩阵在优化算法中的作用。作者研究了大量的矩阵优化问题，并针对线性规划、经验风险最小化、常微分方程和深度神经网络提供了新的求解方法和结果。其中，在线性规划优化问题中，作者提出了一种在当前矩阵乘法时间上运行的新算法，并表示gaisuan”解决了停滞了三十年之久的研究障碍”。此外，该算法可以泛化至多种多样的凸优化问题，即经验风险最小化问题。具体算法如下所示：
论文截图（utexas.edu）
然后，他探究了随机矩阵中的集中不等式问题。具体来讲，作者将大量的切尔诺夫（Chernoff）类型的标量集中不等式和斯宾塞（Spencer）类型的差异定理泛化到矩阵中。
标量随机变量集中的切尔诺夫边界是随机算法分析中的基本工具。过去十年，切尔诺夫边界的矩阵泛化得到广泛应用，但这种泛化存在着一定的限制，并且是否可以消除这些限制的问题也悬而未决。通过提供大量更宽松独立性假设条件下新的矩阵切尔诺夫边界，作者对这一问题给出了肯定的答案。
以下为定理8.1.1：k均匀强瑞利分布（Strongly Rayleigh Distribution）的矩阵切尔诺夫边界。
论文截图（utexas.edu）
斯宾塞定理是差异理论中的一个着名结果，但如何将斯宾塞定理泛化至矩阵设置中这个重要问题却没有得到解决。作者在这方面取得了一些进展，并证明了在某些限制设置条件下斯宾塞定理可以实现矩阵泛化。并且，文中的结果可以泛化至着名的卡迪森-辛格猜想（Kadison-Singer conjecture）问题。
以下为定理1.3.4：卡迪森- 辛格问题。
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