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日期: 2022-12-09 | 來源: 環球科學 | 有0人參與評論 | 字體: 小 中 大
自然界中的流體方程拾分復雜，它們都起源於歐拉方程。為了找到這個方程在特定情況下失效的情況，數學家不得不用上了計算機。有人卻覺得他們的證明不夠“優雅”。
自然往往才是是最復雜的。午後的微風、池塘表面的漣漪和濺起的水花……這些看似簡單的自然現象卻給人類帶來了巨大的困惑。幾個世紀以來，數學家壹直試圖理解和模擬流體的運動，並將其應用於人類社會的方方面面。那些描述池塘漣漪的方程，也有助於研究者預測天氣、設計飛機，以及描述血液如何在體內循環流動。這些方程式看似簡單，然而的解法卻非常復雜，即使是關於它們的基本問題也很難理解。
250年前，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）給出了最古老也最著名的壹組方程，用來描述壹種理想的、不可壓縮的流體：這種流體沒有粘性或內摩擦，也不會在壓力下縮小體積。“如今幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導出來的，”杜克大學的數學家塔裡克·埃爾金迪（Tarek Elgindi）說，“你可以說它們（歐拉方程）是最早的那組。”
然而，歐拉方程還有很多未知之處，我們甚至還不清楚壹個基本的問題：歐拉方程是否始終是理想流體流動的准確模型。流體動力學的核心問題之壹，就是歐拉方程是否會失效，輸出無意義的值，使它無法精准預測流體的狀態。
長期以來，數學家壹直懷疑，存在導致歐拉方程崩潰的初始條件。但他們無法證明這壹點。
在上個月在線發布於預印本網站的壹篇論文中，兩位數學家表明，歐拉方程在特定壹點有時確實會失效。這個證明標志著壹個重大突破——雖然它沒有解決歐拉方程是否會失效的問題，但它提供了壹個解決的希望。“這是壹個驚人的結果，”馬裡蘭大學的數學家特裡斯坦·巴克馬斯特（Tristan Buckmaster，未參與這項研究）說，“此前從來沒有過。”
失效的點只有壹個。
這篇證明論文長達 177 頁，是長達拾年的研究結果，其中大量使用了計算機。因此可能會更難得到其他數學家的確認。不過，這也迫使數學家開始思考“證明”的定義，以及如果解決這些重要問題的唯壹方法是借助計算機的幫助，這會意味著什麼。
目擊野獸
原則上，如果已知流體中每個粒子的位置和速度，那麼歐拉方程應該能夠預測流體在任意時間的運動狀態。但數學家想知道，事實真的是這樣嗎？也許在某些情況下，歐拉方程的確會按照預期，在任意給定時刻計算出流體狀態的精確值，但其中壹個值會突然飆升至無窮大。這壹時刻被視為歐拉方程的“奇點”。如果用更戲劇化的描述，這時歐拉方程“爆炸”（blow up）了。壹旦達到奇點，歐拉方式就無法計算出流體的狀態。然而，“就在幾年前，數學家距離能‘爆炸’的點還很遠，”美國普林斯頓大學（Princeton University）的數學家查理·費弗曼（Charlie Fefferman）說。
通常對具有粘度的流體進行建模（幾乎所有現實世界的流體都是如此），總是極具挑戰性，因為它會變得非常復雜。美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）曾發布百萬美元的千禧年獎，期待任何人能夠證明納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是否會出現類似故障。其中納維-斯托克斯方程是歐拉方程的壹種推廣，多用於解釋粘性流體。
2013 年，美國加州理工學院（California Institute of Technology）的數學家托馬斯·侯（Thomas Hou）和香港恒生大學的羅果提出了歐拉方程會導致奇點的推論。他們用計算機模擬了圓柱體中的流體運動，其中圓柱體的上半部分的流體會順時針旋轉，而下半部分會逆時針旋轉。當模擬程序運行時，他們發現流體內有復雜的微流開始上下移動。當這些復雜的微流與相反方向移動的微流相遇時，圓柱體邊界上出現了奇怪的現象：流體的渦度，也就是衡量旋轉的量增長得如此之快，看起來好像隨時會爆炸壹樣。
圖片來源：Merrill Sherman/Quanta Magazine。翻譯：不周
兩位數學家的工作極具啟發性，但卻沒能提供真正的證據。那是因為計算機不可能計算出無窮大的值。計算機得到的“爆炸”可以非常接近奇點，但實際上永遠無法達到奇點——這意味著求得的解可能非常精確，但它仍然是壹個近似值。如果沒有數學證明的支撐作為基礎，模擬中的壹些偽跡可能會導致渦量增加到無窮大。而在渦量回落之前，方程的解可能會增長到極大的數值。
這種逆轉以前發生過：模擬表明方程中的壹個值“爆炸”了，只有更復雜的計算方法才能顯示出其他情況。“這些問題非常微妙，以至於道路上到處都是以前模擬的殘骸，”費弗曼說。事實上，侯在這個領域就是這樣開始的：他早期的壹些結果反駁了假想奇點的形成。
盡管如此，當他和羅發表他們的解決方案時，大多數數學家認為這很可能是壹個真正的奇點。“它非常細致、非常精確，”明尼蘇達大學的數學家弗拉基米爾·斯韋拉克（Vladimir Sverak） 說。“他們真的竭盡全力證明這是壹個真實的場景。”埃爾金迪、斯韋拉克和其他人的後續工作更加堅定了這壹信念。
但是壹個證據是難以捉摸的。“你已經看到了野獸，”費弗曼說。“試著抓住它。”這意味著侯和羅精心模擬的近似解，在特定的數學意義上，非常非常接近方程的精確解。
現在，在第壹次發現奇點九年後，侯和他以前的研究生陳嘉傑終於成功地證明了附近奇點的存在。
自相似的大陸
陳嘉傑後來加入了侯的團隊。經過更仔細的分析，他們發現2013年的近似解似乎有壹個特殊的結構。方程隨著隨著時間的推移而演變，它的解也顯示出自相似模式：它後來的形狀看起來和之前的形狀很像，只是以特定的方式重新縮放。
結果，數學家們不需要嘗試研究奇點本身。相反，他們可以通過關注更早的時間點來間接研究它。通過以正確的速度放大解的特定部分——根據解的自相似結構確定——他們可以模擬以後會發生什麼，包括在奇點本身。
他們花了幾年時間才找到與 2013 年的爆炸場景的類似的自相似。（今年早些時候，包括巴克馬斯特在內的另壹組數學家使用不同的方法找到了類似的近似解。他們目前正在使用該解來開發奇點形成的獨立證明。）
有了壹個近似的自相似解，侯和陳嘉傑需要證明附近存在壹個精確解。在數學上，這等同於證明他們的近似自相似解是穩定的——即使你稍微擾動它，然後從這些擾動值開始演化方程，也沒有辦法逃脫周圍的壹個小鄰域的近似解。“這就像壹個黑洞，”侯說。“如果你從附近的開始演化，你就會被吸進去。”
但制定總體戰略只是邁向解決方案的第壹步。“挑剔的細節很重要，”費弗曼說。隨著侯和陳嘉傑在接下來的幾年裡研究這些細節，他們發現他們不得不再次依賴計算機——但這次是以壹種全新的方式。
混合方法
他們面臨的第壹個挑戰是，弄清楚他們必須證明的確切命題。他們想表明，如果采用任何壹組接近其近似解的值，並將其代入方程式，輸出就不會偏離太遠。但是輸入“接近”近似解意味著什麼？他們必須在數學命題中對此進行具體說明——但在這種情況下，有很多方法可以定義距離的概念。為了使他們的證明有效，他們需要選擇正確的證明。
“它必須測量不同的物理效應，”佐治亞理工學院的數學家拉斐爾·德·拉亞夫（Rafael de la Llave）說。“所以需要根據對問題的理解來選擇。”
壹旦他們找到了描述“近似度”的正確方法，侯和陳嘉傑就必須證明這個命題，這最終可以歸結為壹個復雜的不等式，涉及經過縮放的方程和近似解中的項。數學家必須確保所有這些項的值平衡到非常小的壹個值：如果最終有壹個值偏大，那其他值就只能為負數。
布朗大學的數學家哈維爾·戈麥斯-塞拉諾（Javier Gómez-Serrano）說：“如果你讓某項太大或太小，整個方程都會崩潰。所以這是壹項非常細心、精細的工作。”
“這是壹場非常激烈的戰斗，”埃爾金迪補充道。
為了得到這些項所需要的嚴格界限，侯和陳嘉傑將不等式分成兩個主要的部分。他們可以手工處理第壹部分，所用的方法可以追溯到18世紀。當時法國數學家加斯帕爾·蒙日（Gaspard Monge）正在尋找壹種最佳的運輸土壤的方法來為拿破侖的軍隊建造防御工事。費弗曼說：“以前有人做過這樣的事情，但侯和陳嘉傑將它用於此，這讓我很吃驚。”
剩下的是不等式的第贰部分。解決它需要計算機的輔助。對於初學者來說，需要進行如此多的計算，並且需要如此高的精度，以至於“用紙筆計算所需要的工作量將是驚人的。”德·拉亞夫說。為了平衡各種項，數學家必須執行壹系列優化問題，這些問題對計算機來說相對容易，但對人類來說卻非常耗時。壹些值還取決於近似解的數量；由於這是使用計算機計算的，因此使用計算機執行這些額外計算更為直接。
戈麥斯-塞拉諾說：“如果你嘗試手動進行其中壹些估算，你可能有時會高估了壹點，然後全盤皆輸。數字又小又緊密……空閒的余地非常小。”
但是由於計算機無法處理無限多的數字，所以不可避免地會出現微小的錯誤侯和陳嘉傑必須仔細追蹤這些錯誤，以確保它們不會幹擾其余的平衡操作。
最終，他們找到了所有項的界限，完成了證明：方程確實產生了壹個奇點。
電腦證明
更復雜的方程——不存在圓柱邊界的歐拉方程和納維-斯托克斯方程——是否能產生奇點，這仍然是壹個懸而未決的問題。侯說：“但（這項工作）至少給了我希望，我看到了壹條前進的道路，壹種甚至可能最終解決整個千年問題的方法。”
與此同時，巴克馬斯特和戈麥斯-塞拉諾正在研究他們自己的計算機輔助證明——他們希望這個證明更通用，因此不僅能夠解決侯和陳嘉傑解決的問題，還能解決許多其他問題。
這些努力標志著流體動力學領域日益明顯的趨勢：使用計算機解決重要問題。“在許多不同的數學領域，這種事情越來越頻繁。”南加州大學的數學家蘇珊·弗裡德蘭德（Susan Friedlander）說。
但在流體力學中，計算機輔助證明仍然是壹種相對較新的技術。事實上，涉及到關於奇點形成的命題時，侯和陳嘉傑的證明是同類中的第壹個：以前的計算機輔助證明在該領域中只能解決壹些不正式的問題。
普林斯頓大學的彼得·康斯坦丁（Peter Constantin），這樣的證據並沒有像“品味問題”那麼有爭議。數學家普遍認為，證明必須使其他數學家相信某些推理是正確的。但是，許多人認為，它還應該提高他們對特定命題為何為真的理解，而不是簡單地提供其正確性的驗證。康斯坦丁說：“我們是從根本上學到了新東西，還是只是知道了問題的答案？如果你將數學視為壹門藝術，那麼這在美學上就不那麼令人愉悅了。”
“電腦可以提供幫助。太棒了。它能提升我的洞察力。但這並沒有讓我完全理解，”康斯坦丁補充道。“理解來自我們自身。”
就埃爾金迪而言，他仍然希望完全手工計算出另壹種“暴力”證明。“總的來說，我很高興它的存在，”他談到侯和陳嘉傑的工作時說。“但我主要把它視為壹種動力，讓我試圖以壹種不太依賴計算機的方式來做這件事。”
其他數學家將計算機視為壹種重要的新工具，可以解決以前難以解決的問題。陳說：“現在的工作不再局限於紙筆，你可以選擇使用更強大的東西。”
根據他和其他人（包括埃爾金迪，盡管他個人更喜歡手寫證明）的說法，流體力學中重大問題——即涉及更復雜的方程的問題——有很大概率只能依賴大量計算機輔助才能計算。費弗曼說：“在我看來，不用計算機輔助來嘗試證明他們，就好像將壹只手或兩只手綁在背後壹樣。”
如果情況確實如此，埃爾金迪表示：“你別無選擇，那麼人們……比如我這樣說這種方法不是最優的人，應該保持沉默。”這也意味著，更多數學家將需要開始學習編寫計算機輔助證明所需的技能——侯和陳嘉傑的工作有望激發這壹點。巴克馬斯特說：“我認為有很多人只是在等有人解決這樣的問題，然後才會自己花時間來嘗試。”
也就是說，當談到關於數學家應該在多大程度上依賴計算機的辯論時，“這並不是說你需要選邊站，”戈麥斯-塞拉諾說。“（Hou和陳嘉傑的）證明不能沒有分析，也不能沒有計算機的輔助……我認為價值在於人們可以有兩套語言。”
有了這個，德·拉亞夫說：“這確實是壹種很新的東西。”
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