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日期: 2022-12-09 | 來源: 環球科學 | 有0人參與評論 | 字體: 小 中 大
圖片來源：Merrill Sherman/Quanta Magazine。翻譯：不周
兩位數學家的工作極具啟發性，但卻沒能提供真正的證據。那是因為計算機不可能計算出無窮大的值。計算機得到的“爆炸”可以非常接近奇點，但實際上永遠無法達到奇點——這意味著求得的解可能非常精確，但它仍然是壹個近似值。如果沒有數學證明的支撐作為基礎，模擬中的壹些偽跡可能會導致渦量增加到無窮大。而在渦量回落之前，方程的解可能會增長到極大的數值。
這種逆轉以前發生過：模擬表明方程中的壹個值“爆炸”了，只有更復雜的計算方法才能顯示出其他情況。“這些問題非常微妙，以至於道路上到處都是以前模擬的殘骸，”費弗曼說。事實上，侯在這個領域就是這樣開始的：他早期的壹些結果反駁了假想奇點的形成。
盡管如此，當他和羅發表他們的解決方案時，大多數數學家認為這很可能是壹個真正的奇點。“它非常細致、非常精確，”明尼蘇達大學的數學家弗拉基米爾·斯韋拉克（Vladimir Sverak） 說。“他們真的竭盡全力證明這是壹個真實的場景。”埃爾金迪、斯韋拉克和其他人的後續工作更加堅定了這壹信念。
但是壹個證據是難以捉摸的。“你已經看到了野獸，”費弗曼說。“試著抓住它。”這意味著侯和羅精心模擬的近似解，在特定的數學意義上，非常非常接近方程的精確解。
現在，在第壹次發現奇點九年後，侯和他以前的研究生陳嘉傑終於成功地證明了附近奇點的存在。
自相似的大陸
陳嘉傑後來加入了侯的團隊。經過更仔細的分析，他們發現2013年的近似解似乎有壹個特殊的結構。方程隨著隨著時間的推移而演變，它的解也顯示出自相似模式：它後來的形狀看起來和之前的形狀很像，只是以特定的方式重新縮放。
結果，數學家們不需要嘗試研究奇點本身。相反，他們可以通過關注更早的時間點來間接研究它。通過以正確的速度放大解的特定部分——根據解的自相似結構確定——他們可以模擬以後會發生什麼，包括在奇點本身。
他們花了幾年時間才找到與 2013 年的爆炸場景的類似的自相似。（今年早些時候，包括巴克馬斯特在內的另壹組數學家使用不同的方法找到了類似的近似解。他們目前正在使用該解來開發奇點形成的獨立證明。）
有了壹個近似的自相似解，侯和陳嘉傑需要證明附近存在壹個精確解。在數學上，這等同於證明他們的近似自相似解是穩定的——即使你稍微擾動它，然後從這些擾動值開始演化方程，也沒有辦法逃脫周圍的壹個小鄰域的近似解。“這就像壹個黑洞，”侯說。“如果你從附近的開始演化，你就會被吸進去。”
但制定總體戰略只是邁向解決方案的第壹步。“挑剔的細節很重要，”費弗曼說。隨著侯和陳嘉傑在接下來的幾年裡研究這些細節，他們發現他們不得不再次依賴計算機——但這次是以壹種全新的方式。
混合方法
他們面臨的第壹個挑戰是，弄清楚他們必須證明的確切命題。他們想表明，如果采用任何壹組接近其近似解的值，並將其代入方程式，輸出就不會偏離太遠。但是輸入“接近”近似解意味著什麼？他們必須在數學命題中對此進行具體說明——但在這種情況下，有很多方法可以定義距離的概念。為了使他們的證明有效，他們需要選擇正確的證明。
“它必須測量不同的物理效應，”佐治亞理工學院的數學家拉斐爾·德·拉亞夫（Rafael de la Llave）說。“所以需要根據對問題的理解來選擇。”
壹旦他們找到了描述“近似度”的正確方法，侯和陳嘉傑就必須證明這個命題，這最終可以歸結為壹個復雜的不等式，涉及經過縮放的方程和近似解中的項。數學家必須確保所有這些項的值平衡到非常小的壹個值：如果最終有壹個值偏大，那其他值就只能為負數。
布朗大學的數學家哈維爾·戈麥斯-塞拉諾（Javier Gómez-Serrano）說：“如果你讓某項太大或太小，整個方程都會崩潰。所以這是壹項非常細心、精細的工作。”
“這是壹場非常激烈的戰斗，”埃爾金迪補充道。
為了得到這些項所需要的嚴格界限，侯和陳嘉傑將不等式分成兩個主要的部分。他們可以手工處理第壹部分，所用的方法可以追溯到18世紀。當時法國數學家加斯帕爾·蒙日（Gaspard Monge）正在尋找壹種最佳的運輸土壤的方法來為拿破侖的軍隊建造防御工事。費弗曼說：“以前有人做過這樣的事情，但侯和陳嘉傑將它用於此，這讓我很吃驚。”- 新聞來源於其它媒體，內容不代表本站立場！
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