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日期: 2017-04-09 | 來源: 岳東曉博客 | 有0人參與評論 | 字體: 小 中 大
最近科學網就壹個概率問題發生了非常有趣的討論，我昨天看到，閱讀了壹下相關討論，思考了壹下。下面是我的 2 cents。
我們考慮：壹個人有X病 （A）並且檢測結果為 X陽性 （B）的概率。 我們可以想象將所有人全部進行X檢測，並且進行 X 診斷，而考慮檢測為陽性、並且診斷為有X的比例。
有兩種計算方法。
壹是：有X病，然後去檢測為陽性。概率是有病的概率 P（A）乘以這個檢查的准確概率 P(B|A)： P(A) * P (B|A) 。P(B|A) 是確實有X病然後測出 X 陽性的概率。
贰是：檢查X為陽性，然後被確診為有X病的概率。概率是 P（B）* P(A|B)。這裡 P(A|B) 是測出X陽性而確實有X病的概率。
兩種結果應該相等，所以
P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)
上面的 P（B|A）記號如果 A、B換個位可能看得更清楚，不過既然都這麼寫，我們就跟著吧。
我們需要的是，檢查出陽性，真的得了 X 病的概率 P（A|B）。由上面的等式可見：
P(A|B)=P(A) P(B|A)P(B)
貝葉斯定理推導只此壹步。
在文中的例子中， P(A) 是千分之壹（人群患病率），P(B|A) 是99%。但要運用上面的公式，問題是人群中檢測出陽性的幾率P(B) 是多少？
顯然，光從這個 99% 的准確率是不能得到這個信息的。為此，我們還要知道這個檢測的 FALSE POSITIVE 率。也就是壹個人沒有X病，卻測出X陽性的概率。這個 99% 准確率意味著 1% 的情況下有X 卻沒測出來，這是 1% 的假陰性。但1%的假陰性不等於 1% 的假陽性。單從X病人99% 能測出 X 陽性是得不到這個信息的。完全可能出現這種可能，壹種測試有 1%的假陰性，但卻是 0% 假陽性。
如果這個X 測試的假陰性率為1%，假陽性率為0% , 那麼只要測出 X 陽性，則100%有 X 病。
這應該是常識。大家可以自己想想例子。
代入上面的公式當然得出同樣的結果: 測試的假陽性率為0，那麼人群中測出陽性的概率就是 患病率乘以 99%，也就是 P(B) = 1/1000 * 99%，那麼
P(A|B)=11000 ×0.9911000 ×0.99=%100
貝葉斯公式結果與我們上面的常識相同，如果假陽性率為零，測出陽性就是有X。
測試陽性真率 + 假陰性率 =1 。但是 陽性真率 + 假陽性率卻不壹定等於 1 。假陽性率也壹般不等於假陰性率。
高山寫的這篇 《深入探討上次概率問題錯誤的根源》 中 P(B|not A) 就是假陽性率，這個我是看懂了。
如果人群患病率只有 1/1000，但是測試假陽性率卻是10倍，達到 1/100。也就是說 1000個人中只有壹個人生病，這個測試卻能得出11個人陽性，我們只能說，這個測試 90% 情況下錯誤報警。
這就像烽火戲諸侯。真有外敵來入侵，它100%能報告；但是美女要笑笑，它也狼煙肆起。玩笑警報可能是真警報的10倍之多，真有事諸侯也不來了，這系統就此廢了。這個古人就知道了，似乎不存在數學悖論。- 新聞來源於其它媒體，內容不代表本站立場！
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