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日期: 2022-12-09 | 來源: 環球科學 | 有0人參與評論 | 字體: 小 中 大
自然界中的流體方程拾分復雜，它們都起源於歐拉方程。為了找到這個方程在特定情況下失效的情況，數學家不得不用上了計算機。有人卻覺得他們的證明不夠“優雅”。
自然往往才是是最復雜的。午後的微風、池塘表面的漣漪和濺起的水花……這些看似簡單的自然現象卻給人類帶來了巨大的困惑。幾個世紀以來，數學家壹直試圖理解和模擬流體的運動，並將其應用於人類社會的方方面面。那些描述池塘漣漪的方程，也有助於研究者預測天氣、設計飛機，以及描述血液如何在體內循環流動。這些方程式看似簡單，然而的解法卻非常復雜，即使是關於它們的基本問題也很難理解。
250年前，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）給出了最古老也最著名的壹組方程，用來描述壹種理想的、不可壓縮的流體：這種流體沒有粘性或內摩擦，也不會在壓力下縮小體積。“如今幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導出來的，”杜克大學的數學家塔裡克·埃爾金迪（Tarek Elgindi）說，“你可以說它們（歐拉方程）是最早的那組。”
然而，歐拉方程還有很多未知之處，我們甚至還不清楚壹個基本的問題：歐拉方程是否始終是理想流體流動的准確模型。流體動力學的核心問題之壹，就是歐拉方程是否會失效，輸出無意義的值，使它無法精准預測流體的狀態。
長期以來，數學家壹直懷疑，存在導致歐拉方程崩潰的初始條件。但他們無法證明這壹點。
在上個月在線發布於預印本網站的壹篇論文中，兩位數學家表明，歐拉方程在特定壹點有時確實會失效。這個證明標志著壹個重大突破——雖然它沒有解決歐拉方程是否會失效的問題，但它提供了壹個解決的希望。“這是壹個驚人的結果，”馬裡蘭大學的數學家特裡斯坦·巴克馬斯特（Tristan Buckmaster，未參與這項研究）說，“此前從來沒有過。”
失效的點只有壹個。
這篇證明論文長達 177 頁，是長達拾年的研究結果，其中大量使用了計算機。因此可能會更難得到其他數學家的確認。不過，這也迫使數學家開始思考“證明”的定義，以及如果解決這些重要問題的唯壹方法是借助計算機的幫助，這會意味著什麼。
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原則上，如果已知流體中每個粒子的位置和速度，那麼歐拉方程應該能夠預測流體在任意時間的運動狀態。但數學家想知道，事實真的是這樣嗎？也許在某些情況下，歐拉方程的確會按照預期，在任意給定時刻計算出流體狀態的精確值，但其中壹個值會突然飆升至無窮大。這壹時刻被視為歐拉方程的“奇點”。如果用更戲劇化的描述，這時歐拉方程“爆炸”（blow up）了。壹旦達到奇點，歐拉方式就無法計算出流體的狀態。然而，“就在幾年前，數學家距離能‘爆炸’的點還很遠，”美國普林斯頓大學（Princeton University）的數學家查理·費弗曼（Charlie Fefferman）說。
通常對具有粘度的流體進行建模（幾乎所有現實世界的流體都是如此），總是極具挑戰性，因為它會變得非常復雜。美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）曾發布百萬美元的千禧年獎，期待任何人能夠證明納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是否會出現類似故障。其中納維-斯托克斯方程是歐拉方程的壹種推廣，多用於解釋粘性流體。
2013 年，美國加州理工學院（California Institute of Technology）的數學家托馬斯·侯（Thomas Hou）和香港恒生大學的羅果提出了歐拉方程會導致奇點的推論。他們用計算機模擬了圓柱體中的流體運動，其中圓柱體的上半部分的流體會順時針旋轉，而下半部分會逆時針旋轉。當模擬程序運行時，他們發現流體內有復雜的微流開始上下移動。當這些復雜的微流與相反方向移動的微流相遇時，圓柱體邊界上出現了奇怪的現象：流體的渦度，也就是衡量旋轉的量增長得如此之快，看起來好像隨時會爆炸壹樣。
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